वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

  • Question 9
    CBSEHHIMAH10010337

    त्रिज्या 21cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए-
    (i) चाप की लंबाई
    (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 
    (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल 

    Solution

    यहाँ पर,     वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 cm
               चाप APB द्वारा केंद्र पर 
    अंतरित कोण open parentheses straight theta close parentheses space equals space 60 degree
    (i) चाप APB की लंबाई = straight theta over 360 cross times 2 πr
                                 equals space 60 over 360 cross times 2 cross times 22 over 7 cross times 21 space cm
equals space 22 space cm
    (ii) त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = straight theta over 360 cross times πr squared
                                          equals space 60 over 360 cross times 22 over 7 cross times 21 cross times 21 space cm squared
equals space 231 space cm squared 

    (iii) त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल  = 1 half straight r squared sinθ
                                       equals space 1 half cross times 21 cross times 21 cross times sin space 60 degree
equals space 1 half cross times 441 space cross times space fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction space cm squared space equals space fraction numerator 441 square root of 3 over denominator 4 end fraction cm squared
    संगत जीवा AB द्वारा बनाए गए छायांकित वृत्तखंड का क्षेत्रफल  = (त्रिज्यखंड OAPB - त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल
                                    equals space open parentheses 231 space minus space 441 over 4 square root of 3 close parentheses space cm squared
                   
               

                        

    Question 10
    CBSEHHIMAH10010338

    15cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

    Solution

    यहाँ पर, 
    r = 15 cm, straight theta = 60°
    माना जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण straight theta space equals space 60 degree


    (i) लघु त्रिज्याखंड OACBO का क्षेत्रफल 
    equals space πr squared cross times straight theta over 360 space
equals space open parentheses 3.14 space straight x space 15 space straight x space 15 space straight x space 60 over 360 close parentheses space cm squared
equals space 117.75 space space cm squared
    (ii) त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल 
    equals space 1 half straight r squared space sin space straight theta
equals space 1 half straight x space 15 space straight x space 15 space straight x space fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction
equals space space fraction numerator 15 straight x 15 straight x 1.73 over denominator 4 end fraction equals 97.313 space cm squared

    (iii) वृत्त का क्षेत्रफल  = πr squared 
                             = 3.14 x 15 x 15 cm2
                             = 706.5 cm2

    अब,
    लघु वृत्तखंड ACB का क्षेत्रफल =  (त्रिज्यखंड OACBO - त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल
                                             = (117.75 - 97.313) cm2
                                             = 20.4375 cm2

    दीर्घ वृत्तखंड (ABDA) का क्षेत्रफल  = वृत्त का क्षेत्रफल - लघुखंड का क्षेत्रफल 
                                             = (706.5 - 20.4375) cm2
                                                   
    =  686.0625 cm2

     

    Question 11
    CBSEHHIMAH10010339

    त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

    Solution

    यहाँ पर,   वृत की त्रिज्या (r) = 12 cm
    जीवा AB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space 120 degree
    त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल  = straight theta over 360 cross times πr squared
                                       equals space 120 over 360 cross times 3.14 space cross times space 12 space cross times space 12 space cm squared
equals space 150.72 space cm squared

    त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल equals straight r squared sin straight theta over 2. cos straight theta over 2 
                                equals space 12 space cross times space 12 space cross times space sin space fraction numerator 120 degree over denominator 2 end fraction. space cos fraction numerator 120 degree over denominator 2 end fraction
equals space 144 space cross times space sin space 60 degree. space cos 60 degree
equals space 144 space cross times space fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction cross times 1 half cm squared
equals space 36 space cross times space 1.73 space cm squared space equals space 62.28 space cm squared
    संगत लघु वृत्तखंड APB(छायांकित) का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAPB - त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल 
                                                         = (150.72 - 62.28) cm2
                                                         = 88.44 cm2
                                 
     
                       

    Question 12
    CBSEHHIMAH10010340

    15m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े की लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिये सलंग्न आकृति)। ज्ञात कीजिए-
    (i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है। 
    (ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को लंबी रस्सी के स्थान पर लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए। (straight pi space equals space space 3.14 का प्रयोग कीजिए।)

    Solution

    (i) पहली अवस्था में, मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ तक घोड़ा चर सकता है
                                equals πr squared over 4 space equals space 1 fourth cross times 3.14 cross times 5 cross times 5 space straight m squared
equals space fraction numerator 78.5 over denominator 4 end fraction straight m squared space equals 19.625 space straight m squared
    (ii) दूसरी अवस्था में,
    मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ तक घोड़ा चर सकता है
                                 equals space πR squared over 4 space equals space 1 fourth cross times 3.14 cross times 10 cross times 10 space straight m squared
equals space 314 over 4 straight m squared space equals space 78.5 space straight m squared
    अत: दूसरी अवस्था में चर जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि  = (78.5 - 19.625)m2
                                                                    = 58.875 m2
                              

     

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