वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

  • Question 37
    CBSEHHIMAH10010479

    आकृति 5 में, सजावट के लिए बना एक ब्लाक दर्शाया गया है जो दो ठोसों-एक घन तथा एक अर्धगोले से बना  है। ब्लाक का आधार एक 6 सेमी भुजा का घन है तथा उसके ऊपर एक अर्धगोला है जिसका ब्यास 3.5 सेमी है। ब्लाक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। left parenthesis straight pi space equals space 22 over 7 space ल ी ज ि ए right parenthesis
                           

    Solution
    ब ् ल ॉ क space क ा space क ु ल space धर ा तल space क ् ष े त ् रफल space
equals space घनक ् ष े त ् र space क ा space क ु ल space धर ा तल space क ् ष े त ् रफल space plus space straight C. straight S. space ग ो ल ा र ् ध space क ा space क ् ष े त ् रफल space minus space व ृ त ् त space क ा space क ् ष े त ् रफल space
equals space 6 left parenthesis straight D right parenthesis squared space plus space 2 πr squared space
equals space 6 left parenthesis straight D right parenthesis to the power of 2 space plus space πr squared end exponent
equals space 6 left parenthesis 6 right parenthesis squared space plus space begin inline style 22 over 7 end style space straight x space begin inline style 7 over 4 end style space straight x space begin inline style 7 over 4 end style
space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell therefore space घन space क ी space द ि श ा space equals space 6 space cm end cell row cell ग ो ल ा र ् ध space क ी space त ् र ि ज ् य ा space equals begin inline style fraction numerator 3.5 over denominator 2 end fraction end style space equals space begin inline style 7 over 4 end style space cm end cell end table close
equals space 216 space plus space begin inline style 77 over 8 end style
equals space 216 space plus space 9.625 space
equals space 225.625 space cm squared space space space space space space space space space space space space space space space
    Question 38
    CBSEHHIMAH10010480

    आकृति 6 में, बनी incrementABC, जिसके शीर्ष A के निर्देशांक (0, -1) हैं तथा भुजाओं AB तथा AC के मध्य-बिंदुओं D तथा E के निर्देशांक क्रमशः (1, 0) तथा (0, 1) हैं। यदि F भुजा BC का मध्य-बिंदु हैं तो त्रिभुजों DEF तथा ABC के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 
                      

    Solution
    म ा न ा space straight B space left parenthesis straight p comma space straight q right parenthesis space और space straight C space left parenthesis straight r comma space straight s right parenthesis
AB space क े space मध ् य space ब िं द ु space equals space straight D space क ा space समन ् वय
left parenthesis begin inline style fraction numerator 0 space plus space straight p over denominator 2 end fraction end style comma space begin inline style fraction numerator negative 1 space plus space straight q over denominator 2 end fraction end style right parenthesis space equals space left parenthesis 1 comma space 0 right parenthesis
rightwards double arrow space begin inline style straight p over 2 end style space equals space 1
rightwards double arrow space straight p space equals space 2
rightwards double arrow space begin inline style fraction numerator negative 1 space plus space straight q over denominator 2 end fraction end style space equals space 0
rightwards double arrow space minus 1 space plus space straight q space equals space 0
rightwards double arrow space straight q space equals space 1
therefore space straight B left parenthesis 2 comma space 1 right parenthesis
AC space क े space मध ् य space ब िं द ु space equals space straight E space क ा space समन ् वय
left parenthesis begin inline style fraction numerator 0 space plus space straight r over denominator 2 end fraction end style comma space begin inline style fraction numerator negative 1 space plus space straight s over denominator 2 end fraction end style right parenthesis space equals space left parenthesis 0 comma space 1 right parenthesis
rightwards double arrow space begin inline style straight r over 2 end style space equals 0
rightwards double arrow space straight r space equals space 0
rightwards double arrow space begin inline style fraction numerator negative 1 space plus space straight s space over denominator 2 end fraction end style space equals space 1
rightwards double arrow space minus 1 space plus straight s space equals 2 space
rightwards double arrow space straight s space equals 3
therefore space straight C left parenthesis 0 comma space 3 right parenthesis
straight F space क ा space समन ् वय space equals space BC space क े space मध ् य space ब िं द ु
space space space space space space space space space space space space space space space space space space left parenthesis straight x comma space straight y right parenthesis space equals space left parenthesis begin inline style fraction numerator 2 space plus space 0 over denominator 2 end fraction end style comma space begin inline style fraction numerator 1 space plus space 3 over denominator space 2 end fraction end style right parenthesis space equals space left parenthesis 1 comma space 2 right parenthesis
straight A space left parenthesis 0 comma space minus 1 right parenthesis comma space straight B space left parenthesis 2 comma space 1 right parenthesis comma space straight C space left parenthesis 0 comma space 3 right parenthesis
increment ABC space क ा space क ् ष े त ् रफल comma
equals space begin inline style 1 half end style left square bracket straight x subscript 1 left parenthesis straight y subscript 2 space minus space straight y subscript 3 right parenthesis space plus space straight x subscript 2 left parenthesis straight y subscript 3 space minus space straight y subscript 1 right parenthesis space plus space straight x subscript 3 left parenthesis straight y subscript 1 space minus space straight y subscript 2 right parenthesis right square bracket
equals space begin inline style 1 half end style left square bracket 0 left parenthesis 1 space minus space 3 right parenthesis space plus space 2 left parenthesis 3 space plus space 1 right parenthesis space plus space 0 left parenthesis negative 1 space minus 1 right parenthesis right square bracket
equals begin inline style 1 half end style left parenthesis 8 right parenthesis space equals space 4 space वर ् ग space य ू न ि ट
straight D left parenthesis 1 comma space 0 right parenthesis comma space straight E left parenthesis 0 comma space 1 right parenthesis space straight F left parenthesis 1 comma space 2 right parenthesis
increment DEF space क ा space क ् ष े त ् रफल comma
equals space begin inline style 1 half end style left square bracket 1 left parenthesis 1 space minus 2 right parenthesis space plus space 0 left parenthesis 2 space minus 0 right parenthesis space plus space 1 left parenthesis 0 space minus space 1 right parenthesis right square bracket space
equals space begin inline style 1 half end style space left parenthesis negative 1 space minus 1 right parenthesis space equals space minus 1
equals space 1 space वर ् ग space य ू न ि ट space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space therefore space space space space space क ् ष े त ् रफल space हम े श ा space धन ा त ् मक left parenthesis plus ve right parenthesis space ह ो त ा space ह ै। space
    Question 39
    CBSEHHIMAH10010492

    80 मी ऊँचे पेड़ के शिखर पर एक पक्षी बैठा है। धरती के एक बिंदु से पक्षी का उन्नयन कोण 450 है। पक्षी क्षैतिज रूप से इस प्रकार उड़ता है कि वह धरती से एक समान ऊँचाई पर रहता है। 2 से. की उड़ान के बाद पृथ्वी के उसी बिंदु से पक्षी का उन्नयन कोण 300 हो  जाता है। पक्षी के उड़ने की चाल ज्ञात कीजिए। left parenthesis square root of 3 space equals space 1.73 space ल ी ज ि ए right parenthesis

    Solution

    म ा न ा space BC space एक space प े ड़ space ह ै comma
आयत space म ें space increment ABC comma space tan space 45 degree space equals space begin inline style BC over AB end style
rightwards double arrow space 1 space equals space begin inline style 80 over straight y end style space space space space space space space space space rightwards double arrow space space space straight y space equals space 80 space straight m space space space space space space space space space space space space space space space space..... left parenthesis straight i right parenthesis
आयत space म ें space increment ADE comma space tan space 30 degree space equals space begin inline style DE over AD end style
rightwards double arrow space begin inline style fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction end style space equals space begin inline style fraction numerator 80 over denominator straight x space plus space straight y end fraction end style
rightwards double arrow space straight x space plus space straight y space equals space 80 square root of 3
rightwards double arrow space straight x space plus space 80 space equals space 80 square root of 3
rightwards double arrow space straight x space equals space 80 square root of 3 space minus space 80
rightwards double arrow space straight x space equals space 80 left parenthesis square root of 3 space minus space 1 right parenthesis
rightwards double arrow space straight x space equals space 80 left parenthesis 1.932 space minus space 1 right parenthesis
rightwards double arrow space straight x space equals space 80 left parenthesis 0.732 right parenthesis
therefore space CE comma space straight x space equals space 58.56 space straight m
space स ि ध ् द comma space पक ् ष ी space क ी space गत ि space equals begin inline style fraction numerator space द ू र ी over denominator space समय end fraction end style
space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space begin inline style CE over Time end style space equals begin inline style fraction numerator 58.56 space straight m over denominator 2 space sec. end fraction end style
space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space 29.28 space straight m divided by sec.
    Question 40
    CBSEHHIMAH10010498

    सिध्द कीजिए कि वृत्त जे बाह्म-बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लम्बाई में सामान होती हैं। 

    Solution

    दिया है, 
    PT और TQ दो स्पर्शरेखा हैं जो बाहरी बिंदु T से वृत्त C (O, r) में लिए गयीं हैं। 
    सिध्द कीजिए(to prove): 1. PT = TQ
    2.  ∠OTP = ∠OTQ
    निर्माण: जोड़ना OT
    प्रमाण(Proof): हम जानते हैं, कि वृत्त में स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लिए लम्बवत्त है।
    therefore space angle OPT space equals space angle OQT space equals space 90 degree
increment OPT space और space increment OQT space म ें comma
OT space equals space OT space left parenthesis space स ा म ा न ् य right parenthesis
OP space equals space OQ space left parenthesis व ृ त ् त space क ी space त ् र ि ज ् य ा right parenthesis
angle OPT space equals space angle OQT space left parenthesis 90 degree right parenthesis
therefore space increment OPT
approximately equal to
increment OQT space left parenthesis RHS space स ं गतत ा space म ा नद ं ड right parenthesis space
rightwards double arrow space PT space equals space TQ space और space angle OTQ space left parenthesis CPCT right parenthesis
PT space equals space TQ comma
therefore space space एक space ब ा हर ी space ब िं द ु space स े space व ृ त ् त space क ी space स ् पर ् शर े ख ा space र े ख ां क ि त space क ी space ल ं ब ा ई space सम ा न space ह ै। space
angle OTP space equals space angle OTQ
therefore space space क ें द ् र space द ो space स ् पर ् शर े ख ा space क े space ब ी च space क ो ण space क े space द ् व ि भ ा जक space पर space स ् थ ि त space ह ै। space space
     

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