वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

  • Question 33
    CBSEHHIMAH10010361

    आकृति में, छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृतों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है। 



    Solution

    यहाँ पर, 
    आकृति में छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल  = 2[चतुर्थांश ABD का क्षेत्रफल  - समकोण increment ABD का क्षेत्रफल)
                                          equals space 2 open square brackets fraction numerator straight pi left parenthesis 8 right parenthesis squared over denominator 4 end fraction minus 1 half cross times 8 cross times 8 close square brackets cm squared
                                           equals space 2 open square brackets 22 over 7 cross times 64 over 4 minus 32 close square brackets cm squared space equals space 2 open square brackets 352 over 7 minus 32 over 1 close square brackets cm squared
space equals 2 open square brackets fraction numerator 352 minus 224 over denominator 7 end fraction close square brackets cm squared
space equals space 2 cross times 128 over 7 cm squared space equals space 36.57 space cm squared
                                       

    Question 34
    CBSEHHIMAH10010465

    आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केंद्र से बहार की और पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिन्हित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

    Solution

    यहाँ पर, 
               GOLD अंक वाले वृत्त का व्यास  = 21 cm
      GOLD अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 over 2 space equals space 10.5 cm
    ∴  GOLD अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A1)  equals space πr squared
                                                                 equals space 22 over 7 cross times 10.5 space cross times space 10.5 space cm squared
equals space 22 space cross times space 1.5 space cross times space 10.5 space cm squared
                                                                  = 346.5 cm2         ...(i)
    (GOLD + RED) अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r1) = (10.5 + 10.5)cm
                                                            = 2 x 10.5 cm
                                                            = 2 r cm
    ∴    RED अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A2) = πr subscript 1 squared space minus space πr squared
 
                                                              space equals straight pi left square bracket left parenthesis 2 straight r right parenthesis squared minus straight r squared right square bracket
equals straight pi left square bracket 4 straight r squared minus straight r squared right square bracket equals space space 3 πr squared
 
                                                              = 3 x 346.5 cm2   [समीकरण (i) से] 
                                                           = 1039.5 cm2

    (GOLD + RED + BLUE) अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r2) = (10.5+10.5+10.5)cm
                                                                       = 3 x 10.5 cm = 3 r cm
    ∴    BLUE अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A3) = πr subscript 2 superscript 2 space minus πr subscript 1 superscript 2
                                                                  = straight pi left square bracket left parenthesis 3 straight r right parenthesis to the power of 2 space end exponent minus space left parenthesis 2 straight r right parenthesis squared right square bracket
                                                                   equals straight pi left square bracket 9 straight r squared minus 4 straight r squared right square bracket space equals space 5 πr squared
 
                                                                  = 5 x 346.5 cm2  [समीकरण (i) से]
                                                                 = 1732.5 cm2
    (GOLD + RED + BLUE + BLACK) वाले वृत्त की त्रिज्या (r3) = 4 r cm
    ∴          BLACK अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A4) = πr subscript 3 superscript 2 space minus space πr subscript 2 superscript 2
                                                                     equals straight pi left parenthesis left parenthesis 4 straight r right parenthesis squared space minus space left parenthesis 3 straight r right parenthesis squared right square bracket
equals space straight pi left square bracket 16 straight r squared minus 9 straight r squared right square bracket space equals space 7 πr squared
                                                                     = 7 x 346.5 cm2 [समीकरण (i) से]
                                                                     = 2425.5 cm2
    (GOLD + RED + BLUE + BLACK + WHITE) अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r4) = 5 r cm
    ∴     WHITE अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A5) = πr subscript 4 superscript 2 space minus space πr subscript 3 superscript 2
                                                                 space equals space straight pi left square bracket left parenthesis 5 straight r right parenthesis squared space minus space left parenthesis 4 straight r right parenthesis squared right square bracket
space equals straight pi left square bracket 25 straight r squared space minus space 16 straight r squared right square bracket space equals space 9 πr squared
                                                                  = 9 x 346.5 cm2 [समीकरण (i) से]
                                                                  = 3118.5 cm2

                                                                   
                                                                   
                                      
         
     

    Question 35
    CBSEHHIMAH10010469

    आकृति 1 में, AB एक 6 मी ऊँचा खम्भा है तथा CD एक सीढ़ी है जो क्षैतिज के साथ 600 का कोण बनती है तथा खम्बे के बिंदु D तक पहुँचती है। यदि AD = 2.54 मी है, तो सीढ़ी की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (square root of 3 =1.73 लीजिए)
                                   

    Solution
    BD space equals space AB minus AD space equals space 6 minus 2.54 space equals space 3.46 space straight m
space त ् र ि भ ु ज space increment dbc space म ें comma space sin space 60 degree space equals BD over DC
fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction space equals space fraction numerator 3.46 over denominator DC end fraction
square root of 3 DC space equals space 3.46 space straight X space 2 space space space space space
space स ी ढ ़ी space क ी space लम ् ब ा ई space comma space DC space equals fraction numerator 6.92 over denominator square root of 3 end fraction space equals space fraction numerator 6.92 over denominator 1.73 end fraction
rightwards double arrow space DC space equals space 4 space straight m
space space space
    Question 36
    CBSEHHIMAH10010478

    आकृति 4 में, ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा 14 सेमी है। प्रत्येक भुजा को ब्यास मान कर अर्धवृत्त बनाए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।space left parenthesis straight pi space equals space 22 over 7 space ल ी ज ि ए right parenthesis
                                          

    Solution

                                   


    वृत्त का त्रिज्या, r = straight D over 2 space equals space 14 over 2 space equals space 7 space c m
    चूंकि सभी अर्धवृत्त का त्रिज्या एक जैसी है-

    चारों अर्धवृत्त के क्षेत्रफल,
               AOB + DOC + AOD + BOC
    equals space 4 left square bracket 1 half πr squared right square bracket
equals space 4 left square bracket 1 half space straight x space 22 over 7 space straight x space 7 space straight x space 7 right square bracket space equals space 308 space cm squared
space वर ् ग space क ा space क ् ष े त ् रफल comma space ABCD space equals space left parenthesis straight D right parenthesis squared
space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space left parenthesis 14 right parenthesis squared space equals space 196 space cm squared
space छ ा य ां क ि त space क ् ष े त ् र space क ा space क ् ष े त ् रफल
equals space 2 left parenthesis वर ् ग space क ा space क ् ष े त ् रफल right parenthesis space minus space 4 left parenthesis space अर ् धव ृ त ् त space क ा space क ् ष े त ् रफल right parenthesis
equals space 2 space straight x space 196 space minus space 308
equals space 392 space minus space 308 space equals space 84 space cm squared 

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