वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

  • Question 25
    CBSEHHIMAH10010353

    आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं। 

    दोनों आंतरिक समांतर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 लंबा है। यदि यह पथ 10m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए।
    (i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी,
    (ii) पथ का क्षेत्रफल। 

     


    Solution

    (i) प्रत्येक आंतरिक अर्धवृत का व्यास  = 60 m
          प्रत्येक आंतरिक अर्धवृत की त्रिज्या  (r) = 60 over 2 space equals space 30 space straight m

    दोनों आंतरिक अर्धवृतों की परिधि  = 2 x प्रत्येक अर्धवृत की परिधि 
                                           equals space 2 space cross times space left parenthesis πr right parenthesis
equals space 2 space cross times space 22 over 7 cross times 30 space straight m
                                           equals 1320 over 7 straight m
    आंतरिक दोनों किनारो की दूरी  = AB + CD = (106 + 106)m
                                        = 212 m
    अत: पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में तय दूरी 
                                      equals space open parentheses 1320 over 7 plus 212 close parentheses space straight m
equals space open parentheses fraction numerator 1320 plus 1484 over denominator 7 end fraction close parentheses straight m space equals space 2804 over 7 straight m
    (ii) आंतरिक आयत का क्षेत्रफल = 106 x 60 m2 = 6360 m2
    बाहरी आयत का क्षेत्रफल  = 106 x 80m2  = 8480 m2
    आयातकार छायांकित आकृति का क्षेत्रफल  = बाहरी क्षेत्रफल - आंतरिक क्षेत्रफल
                                                    = (8480 - 6360)m2 = 2120m2
    प्रत्येक बाहरी अर्धवृत्त की त्रिज्या (R) = 80 over 2 space equals space 40 straight m
    प्रत्येक अर्धवृत्ताकार छायांकित आकृति का क्षेत्रफल  = 1 half left square bracket πR squared minus πr squared right square bracket

                                                         equals space 1 half cross times 22 over 7 cross times left square bracket left parenthesis 40 right parenthesis squared minus left parenthesis 30 right parenthesis squared right square bracket space cm
equals space 11 over 7 cross times 700 space straight m squared space equals space 1100 space straight m squared
    दोनों अर्धवृत्ताकार छायांकित आकृतियों का क्षेत्रफल =  2 x 1100 m2
                                                             = 2200 m2
    अत: छायांकित कुल पथ का क्षेत्रफल  = (2120 + 2200) m2
                                               = 4320 m2

     
    Question 26
    CBSEHHIMAH10010354

    आकृति में, AB और CD केंद्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

    Solution

    यहाँ पर, 
             बड़े वृत्त की त्रिज्या (OA) = 7 cm
       बड़े वृत्त की त्रिज्या (AB) = 2 x OA = 2 x 7cm = 14 cm
    परन्तु          OC = OA = 7 cm
                increment ABC का क्षेत्रफल  = 1 half cross times AB cross times OC
                                       equals space 1 half cross times 14 cross times 7 space cm squared space equals space 49 space cm squared
    बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = fraction numerator straight pi left parenthesis OA right parenthesis squared over denominator 2 end fraction space equals space 22 over 7 cross times 1 half cross times 7 cross times 7 space cm squared
                                               = 77 cm2
    दिए गए छोटे वृत्त का व्यास (OD) = 7 cm                 (बड़े वृत्त की त्रिज्या)
    दिए गए छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 over 2 cm
    दिए गए छोटे वृत्त का क्षेत्रफल equals space πr squared space equals space 22 over 7 cross times 7 over 2 cross times 7 over 2 space cm squared space equals space 38.5 space cm squared 
    अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल  + (बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल  - increment ABC का क्षेत्रफल)
                                          = [38.5 + (77 - 49)] cm2
                                          = [38.5 + 28] cm2
                                         = 66.5 cm2
                                
                                  


      
        

        

    Question 27
    CBSEHHIMAH10010355

    एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cmहै। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है। (देखिए आकृति)। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

    Solution

    यहाँ पर, 
           समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल  = 17320.5 cm2
            rightwards double arrow space space space space space space space space fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction left parenthesis भ ु ज ा right parenthesis squared space equals space 17320.5
rightwards double arrow space space space space space space space space space space left parenthesis भ ु ज ा right parenthesis squared space equals space 17320.5 space cross times fraction numerator 4 over denominator square root of 3 end fraction
 
                 equals space fraction numerator 17320.5 space cross times space 4 over denominator 1.73205 end fraction space equals space 40000
equals space left parenthesis 200 right parenthesis squared         
    rightwards double arrow   भुजा  = 200 cm
    अत:  प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या (r) = fraction numerator भ ु ज ा space over denominator 2 end fraction equals space 200 over 2 cm space equals space 100 space cm 
    प्रत्येक त्रिज्यखंड का कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space 60 degree                           (समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण)
     rightwards double arrow  तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल  = 3open square brackets straight theta over 360 cross times πr squared close square brackets

                                           equals space 3 cross times 60 over 360 cross times 3.14 cross times 100 space cross times space 100 space cm squared
equals space 15700 space cm squared
    इसी प्रकार, आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = increment ABC का क्षेत्रफल  - तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
                                                              = (17320.5 -  15700)cm2  
                                                              =1620.5 cm2                                       
    Question 28
    CBSEHHIMAH10010356

    एक वर्गाकार रुमाल पर, नौ वृत्ताकार डिज़ाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7cm है। रुमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।  




    Solution

    यहाँ पर,
    रुमाल के प्रत्येक वृत्ताकार डिज़ाइन की त्रिज्या (r) = 7 cm
    रुमाल के प्रत्येक वृत्ताकार डिज़ाइन का व्यास (d) = 2 x r cm
                                                           = 2 x 7 cm
                                                           = 14 cm
    वर्गाकार रुमाल की प्रत्येक भुजा = 3 x प्रत्येक वृत्त का व्यास
                                        = 3 x 14 cm = 42 cm
    रुमाल के 9 वृत्ताकार डिज़ाइनों का क्षेत्रफल  space equals space 9 space cross times space πr squared 
                                                        equals 9 cross times 22 over 7 cross times 7 cross times 7 space cm squared
equals space 1386 space cm squared
    वर्गाकार रुमाल का क्षेत्रफल  = भुजा x भुजा
                                    = 42 x 42 cm2 = 1764 cm2        
    अत: वृत्ताकार डिज़ाइनों को छोड़कर शेष रुमाल का क्षेत्रफल  = (1764 - 1386) cm2 
                                                                        = 378 cm2                                                     

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