वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

  • Question 17
    CBSEHHIMAH10010345

    एक गोल मेज़पोश पर छ: समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो 0.35रु प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाईनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। 

    Solution

    मेज़पोश  के प्रत्येक डिज़ाइन की जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space fraction numerator 360 degree over denominator 60 end fraction space equals space 60 degree
    मेज़पोश की त्रिज्या (r) = 28 cm
    अत: मेज़पोश के प्रत्येक डिज़ाइन का क्षेत्रफल (A) = open square brackets straight theta over 360 cross times πr squared space minus 1 half straight r squared sinθ close square brackets
                                        equals open square brackets 60 over 360 cross times 22 over 7 cross times 28 cross times 28 minus 1 half cross times 28 cross times 28 space sin space 60 degree close square brackets
equals open square brackets 1232 over 3 minus fraction numerator 392 square root of 3 over denominator 2 end fraction close square brackets cm squared
equals open square brackets 1232 over 3 minus 196 space cross times space 1.7 close square brackets cm squared
equals left square bracket 410.67 minus 333.20 right square bracket space cm squared
equals space 77.47 space cm squared
    अत: मेज़पोश के डिज़ाइन का कुल क्षेत्रफल  = 6 x प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 
                                                      = 6 x 77.47 cm2
                                                      = 464.82 cm2
        1 cm2 डिज़ाइन को बनाने की लागत  = 0.35 रु
      464.82 cm2 डिज़ाइन को बनाने की लागत = 464.82 x 0.35 रु
                                                         = 162.68 रु
     

    Question 18
    CBSEHHIMAH10010346

    निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए- 
    त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण straight p degreeहै, निम्नलिखित है  

    • straight p over 180 cross times 2 πR
    • straight p over 180 cross times πR squared
    • straight p over 360 cross times 2 πR
    • straight p over 720 cross times 2 πR squared

    Solution

    D.

    straight p over 720 cross times 2 πR squared

    यहाँ पर,   वृत्त के त्रिज्यखंड की त्रिज्या (र) = R
                वृत्त के त्रिज्यखंड (straight theta) = P
    ∴     वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल  (A) = straight theta over 360 cross times πr squared space equals space straight p over 360 cross times πR squared
                                           equals fraction numerator straight p over denominator 360 space cross times 2 end fraction cross times 2 πR squared  [दोनों ओर 2 से गुणा करने पर]
                                              equals straight p over 720 cross times 2 πR squared
    अत:अभीष्ट सही उत्तर  = D
        
                 
                     
                     

    Question 19
    CBSEHHIMAH10010347

    आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7cm तथा O वृत्त का केंद्र है।



    Solution

    यहाँ पर,                      PQ = 24 cm
                                   PR = 7 cm
    हम जानते हैं कि अर्धवृत में बना कोण angle RPQ space equals space 90 degree
    समकोण त्रिभुज RPQ में पाइथागोरस प्रमेय से, 
      RQ = square root of left parenthesis PQ right parenthesis squared plus left parenthesis PR right parenthesis squared end root
  space equals space square root of left parenthesis 24 right parenthesis squared plus left parenthesis 7 right parenthesis squared end root
equals space square root of 576 plus 49 end root space equals space square root of 625 space equals space 25 space cm
    अत:   दिए गए वृत्त का व्यास (RQ) = 25 cm
             दिए गए वृत्त की त्रिज्या (r)  = 25 over 2 cm
    दिए गए वृत्त के छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = अर्धवृत का क्षेत्रफल - increment RPQ का क्षेत्रफल 
                                                    equals space πr squared over 2 minus 1 half cross times RP cross times PQ
                                                  equals space open square brackets 22 over 7 cross times 1 half cross times 25 over 2 cross times 25 over 2 minus 1 half cross times 7 cross times 24 close square brackets cm squared
                                                   equals space open square brackets 6875 over 28 minus 84 close square brackets cm squared
equals left square bracket 245.54 space minus space 84 right square bracket cm squared
equals space 161.54 space cm squared


    Question 20
    CBSEHHIMAH10010348

    आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र O वाले दोनों सकेंद्रीय वृतों की त्रिज्याएँ क्रमश: 7cm और 14 cm हैं तथा angle AOC space equals space 40 degree है।

    Solution

    यहाँ पर,     बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) = 14 cm
                   छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 cm
    चाप तथा चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space 40 degree
    छायांकित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल   = (त्रिज्यखंड AOC - त्रिज्यखंड BOD) का क्षेत्रफल
                                          equals space open square brackets straight theta over 360 cross times πR squared space minus space straight theta over 360 cross times πr squared close square brackets
equals straight theta over 360 cross times straight pi open square brackets straight R squared minus straight r squared close square brackets
equals 40 over 360 cross times 22 over 7 open square brackets left parenthesis 14 right parenthesis squared minus left parenthesis 7 right parenthesis squared close square brackets
equals space 1 over 9 cross times 22 over 7 cross times 147 space cm squared
equals space 154 over 3 cm squared space equals space 51.33 space cm squared  
                        
                    
                    
                

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