वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

  • Question 29
    CBSEHHIMAH10010357

    आकृति में, OACB केंद्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

    Solution
    (i)  यहाँ पर, चतुर्थांश OACB की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
     ∴     चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल 
    equals space πr squared over 4 equals 1 fourth straight x 22 over 7 straight x left parenthesis 3.5 right parenthesis squared space cm squared
equals space 9.625 space cm squared
    (ii) अब, समकोण increment BOD का क्षेत्रफल 
    Ar space left parenthesis increment BOD right parenthesis equals space 1 half straight x space 3.5 space straight x space 2 space cm squared space equals space 3.5 space cm squared
    अत: आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (चतुर्थांश OACB - increment OBD) का क्षेत्रफल 
    = (9.625 cm2 - 3.5)cm2
    = 6.125 cm2.
    Question 30
    CBSEHHIMAH10010358

    आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (straight pi space equals space 3.14 लीजिए।)


    Solution

    यहाँ पर,  वर्ग OABC में, भुजा OA  =  भुजा AB = 20 cm
               वर्ग OABC का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
                                          = 20 x 20 cm2 = 400 cm2
    चतुर्थांश OPBQ की त्रिज्या (OB) = square root of left parenthesis OA right parenthesis squared plus left parenthesis AB right parenthesis squared end root
                                          equals space square root of left parenthesis 20 right parenthesis squared plus left parenthesis 20 right parenthesis squared end root space cm
                                            equals 20 square root of 2 space cm
    चतुर्थांश OPBQ का क्षेत्रफल = fraction numerator straight pi left parenthesis OB right parenthesis squared over denominator 4 end fraction
                                    equals space fraction numerator 3.14 space cross times space left parenthesis 20 square root of 2 right parenthesis squared over denominator 4 end fraction cm squared
equals space fraction numerator 3.14 space cross times space 800 over denominator 4 end fraction cm squared
equals space 628 space cm squared
    अत: आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = (चतुर्थांश OPBQ  - वर्ग OABC) का क्षेत्रफल 
                                                      = (628 - 400) cm2 
                                                      = 228 cm2

    Question 31
    CBSEHHIMAH10010359

    AB और CD केंद्र तथा त्रिज्याओं 21cm और 7cm वाले दो सकेंद्रिय वृतों के क्रमश: दो चाप हैं (देखिए आकृति)। यदि, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 



    Solution

    माना r1 = 7 cm (त्रिज्यखंड OCD के लिए) and r2 = 21 cm (त्रिज्यखंड OAB के लिए)
    तथा  straight theta space equals space 30 degree
    त्रिज्यखंड OCD का क्षेत्रफल 
                     equals space πr subscript 1 squared space straight x space straight theta over 360
equals space 22 over 7 straight x space 7 space straight x space 7 space straight x space 30 over 360
equals space 77 over 6 space cm squared
    त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल 
                  equals space πr subscript 2 squared space straight x space straight theta over 360
equals space 22 over 7 straight x space 21 space straight x space 21 space straight x space 30 over 360
equals space space 231 over 2 space cm squared
    अत: आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = (त्रिज्यखंड OAB - त्रिज्यखंड OCD) का क्षेत्रफल
                                                         space space equals space open parentheses 231 over 2 minus 77 over 6 close parentheses space cm squared
space space equals space open parentheses fraction numerator 693 minus 77 over denominator 6 end fraction close parentheses space cm squared
space space equals space 616 over 6 equals 308 over 3 space cm squared
                                                            equals 102.67 space cm squared

    Question 32
    CBSEHHIMAH10010360

    आकृति में , ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का  चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मान कर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।



    Solution

    यहाँ पर, समकोण त्रिभुज ABC में,   AB = AC  = 14 cm
                                                               (वृत्त की त्रिज्या के समान)
                                        BC space equals space square root of left parenthesis AB right parenthesis squared plus left parenthesis AC right parenthesis squared end root
space space space space space space space equals space square root of left parenthesis 14 right parenthesis squared plus left parenthesis 14 right parenthesis squared end root space cm
space space space space space space space equals space 14 square root of 2 space cm
              14 cm त्रिज्या वाले चतुर्थांश का क्षेत्रफल = fraction numerator straight pi left parenthesis 14 right parenthesis squared over denominator 4 end fraction space equals 22 over 7 cross times 1 fourth cross times 196 space cm squared
                                                           = 154 cm2

    BC पर बने अर्धवृत की त्रिज्या  = BC over 2 space equals space fraction numerator 14 square root of 2 over denominator 2 end fraction space equals space 7 square root of 2 space cm
    BC पर बने अर्धवृत का क्षेत्रफल  = 1 half cross times straight pi space left parenthesis 7 square root of 2 right parenthesis end root squared
                                         equals space 1 half cross times 22 over 7 cross times 49 cross times 2 space cm squared
equals space 154 space cm squared
    समकोण त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल  = 1 half cross times AC cross times AB
                                            equals space 1 half cross times 14 cross times 14 space cm squared space equals space 98 space cm squared
    अत: आकृति में दर्शाए गए छायांकित भाग का क्षेत्रफल
         = BC पर बने अर्धवृत का क्षेत्रफल  - (चतुर्थांश का क्षेत्रफल - increment ABC का क्षेत्रफल)
          = [154 - (154 - 98)] cm2
          = [154  - 154 + 98] cm2 = 98 cm2 

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