वास्तविक संख्याएँ

  • Question 5
    CBSEHHIMAH10009846

    यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होती हैl

    Solution

    माना a और b कोई दो धनात्मक पूर्णांक है जहाँ a बड़ा है b से
    तब:
    a = bq + r;
    जहाँ q और r  धनात्मक पूर्णांक है 0 ≤ r < b.

    b = 3, रखने पर हमें प्राप्त होता है
    a = 3q + r ; जहाँ 0 ≤ r < 3.

    ⇒ a के अलग-अलग मान है 3q, 3q + 1 or 3q + 2.

    3q का घन 3q = (3q)3

    = 27q3 = 9(3q3) = 9m ;

    जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

    3q + 1 का घन 3q + 1 = (3q + 1)3

    = (3q)3 + 3(3q)2 × 1 + 3(3q) × 12 + (1)3

    [∵ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]

    = 27q3 + 27q2 + 9q + 1

    = 9(3q3 + 3q2 + q) + 1

    = 9m + 1; जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

    3q + 2 का घन 3q + 2 = (3q + 2)3

    = (3q)3 + 3(3q)2 × 2 + 3 × 3q × 22 + 23

    = 27q3 + 27q2 + 36q + 8

    = 9(3q3 + 3q2 + 4q) + 8 = 9m + 8; जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

    ∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का घन या तो  9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होगाl

    Question 6
    CBSEHHIMAH10009848

    निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए: 

    140

    Solution

    140 के गुणखणड होंगे
                               अथवा
                 

    इसलिए,    140 = 2 × 2 × 5 × 7

    = 22 × 5 × 7.

    Question 7
    CBSEHHIMAH10009849

    निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

    156

    Solution

    156 के गुणनखंड होंगे
                                        अथवा
                

    इसलिए,    156 = 2 × 2 × 3 × 13

    = 22 × 3 × 13

    Question 8
    CBSEHHIMAH10009851

    निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

    3825

    Solution

    3825 के अभाज्य गुणनखंड होंगे
                                अथवा  
          

    इसलिए, 3825 = 3 × 3 × × 5 × 5 × 17

    = 32 × 52 × 17.

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