वास्तविक संख्याएँ

  • Question 21
    CBSEHHIMAH10009871

    सिद्ध कीजिए कि square root of 5 एक अपरिमेय संख्या हैl

    Solution
    माना कि square root of 5 एक परिमेय संख्या हैl
    इसलिए, हम दो पूर्णांक a तथा b (≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं ताकि
                     space space space space space space space space space space space square root of 5 equals straight a over straight b space
space rightwards double arrow space space space space space space square root of 5 space straight b equals straight a
    दोनों तरफ वर्ग करने पर हम प्राप्त करते है
    5b2 = a2

    ⇒ 5, a2 को विभाजित करता हैl      ......(i)
    ⇒ 5, a को विभाजित करता हैl       ......(ii)
    हम लिख सकते हैं
    a = 5c जहाँ c एक पूर्णांक हैl

    समीकरण (ii) में a का मान रखने पर
    हम प्राप्त करते है,
         5b2 = 25c2
    ⇒    b2 = 5c2
    ⇒ 5, b2 को विभाजित करता हैl
    ⇒ 5, b को विभाजित करता हैl        ......(iii)
    (ii) और (iii) से, हम देखते हैं कि a और b का 1 उभयनिष्ठ गुणनखंड हैl परन्तु यह हमारी कल्पना के विपरीत है कि a और b सह-अभाज्य हैंl अत: square root of 5 एक अपरिमेय संख्या हैl

    Question 22
    CBSEHHIMAH10009875

    सिद्ध कीजिए कि space 3 plus 2 square root of 5 एक अपरिमेय संख्या हैl

    Solution
    माना  space 3 plus 2 square root of 5 एक परिमेय संख्या हैlThat is, we can find coprime a and b ( b ≠ 0 )
    अर्थात हम सह अभाज्य ऐसी संख्याएँ a और b ( b ≠ 0 ) ज्ञात कर सकते है कि
    चूँकि a और b पूर्णांक है इसलिए 1 half space open square brackets space a over b space minus space 3 space close square brackets एक परिमेय संख्या है और square root of 5 परिमेय हैl

    परन्तु इससे तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि square root of 5 अपरिमेय संख्या हैl
    अत: हम कह सकते है कि space 3 plus 2 square root of 5 एक अपरिमेय संख्या हैl
    Question 23
    CBSEHHIMAH10009878

    सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:

     fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction

    Solution

    fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction space equals space fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction space x space fraction numerator square root of 2 over denominator square root of 2 end fraction space equals space fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction         .....[ हर का प्रिमीकरण करने पर ]
    माना कि fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction एक परिमेय संख्या हैl
    अब हम दी सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (≠ 0) ज्ञात कर सकते है ताकि
    space space space space space space space fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction space equals space straight a over straight b
rightwards double arrow space space space space square root of 2 space equals space fraction numerator 2 straight a over denominator straight b end fraction
    क्योंकि 'a' और 'b' पूर्णांक है,
     rightwards double arrow space space space space fraction numerator 2 straight a over denominator straight b end fraction एक परिमेय संख्या हैl
    इसलिए square root of 2 अपरिमेय है
    इसलिए हम कह सकते है कि fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction एक अपरिमेय है

    Question 24
    CBSEHHIMAH10009881

    सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:

     7 square root of 5

    Solution

    माना कि 7 square root of 5 एक परिमेय संख्या है
    अर्थात हम सह-अभाज्य पूर्णांक b (not equal to0) ज्ञात कर सकते है
    ताकि,
    italic space italic space italic space italic space italic space italic space italic space italic space italic 7 square root of italic 5 italic equals a over b
italic rightwards double arrow italic space italic space italic space italic space square root of italic 5 italic equals fraction numerator a over denominator italic 7 b end fraction
    क्योंकि 'a' और 'b' पूर्णांक हैं,
     rightwards double arrow space space space fraction numerator straight a over denominator 7 straight b end fraction परिमेय है और इसलिए, square root of 5 परिमेय हैl
    परन्तु इस तथ्य के विपरीत है कि square root of 5 अपरिमेय हैl
    इसलिए 7 square root of 5 अपरिमेय हैl

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