वास्तविक संख्याएँ

  • Question 1
    CBSEHHIMAH10009841

    निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन का प्रयोग कीजिए:

    (i)135 और 225   (ii) 196 और 38220   (iii) 867 और 255

    Solution
    (i) बड़े पूर्णांक से शुरू कीजिए अर्थात 225 विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

    अब 135 को भाज्य और 90 को भाजक मानकर दोबारा विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

    अब 90 को भाज्य और 45 को भाजक मानकर एक बार फिर विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

    अब शेषफल 0 प्राप्त हुआ है इसलिए हमारी प्रक्रिया समाप्त हुई

    135 और 225 का HCF 45 हैl

    (ii) अब 38220 को भाज्य और 196 को भाजक मानकर दोबारा विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

    अब शेषफल 0 प्राप्त हुआ है इसलिए हमारी प्रक्रिया समाप्त हुई
    इसलिए 196 और 38220 का HCF 196 हैl
    (iii) 867 = 255 x 3 + 102
          255 = 102 x 2 + 51
          102 = 51 x 2 + 0
    अब शेष '0' रह गया है, इसलिए हमारी प्रक्रिया समाप्त हुई और
      HCF (867, 255) = 51
    जाँच:

    Question 2
    CBSEHHIMAH10009842

    दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ 'q' कोई पूर्णांक हैl

    Solution

    माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है, और b = 6
    माना q भागफल है और r शेषफल हैl

    विभाजन अल्गोरिथम का प्रयोग करने पर
    हमें प्राप्त होता है:


    space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space straight a space equals space 6 straight q space plus space straight r comma space जह ाँ space 0 space less or equal than space straight r space less than space 6
space
space space space space space space space rightwards double arrow space space space space space space space space space straight a space equals space 6 straight q space plus space 0

और space space space space space space space space space space space space space space space straight a space equals space 6 straight q space plus space 1

और space space space space space space space space space space space space space space space straight a space equals space 6 straight q space plus space 2

और space space space space space space space space space space space space space space space straight a space equals space 6 straight q space plus space 3

और space space space space space space space space space space space space space space space straight a space equals space 6 straight q space plus space 4 space space space space space space space space open square brackets space because space 0 space less or equal than space straight r space less than space 6 space close square brackets

और space space space space space space space space space space space space space space space straight a space equals space 6 straight q space plus space 5

space space space space space space space rightwards double arrow space space space space space space space space space straight r space equals space 0 comma space 1 comma space 2 comma space 3 comma space 4 comma space 5

space space space space space space space rightwards double arrow space परन ् त ु space space straight a space equals space 6 straight q comma space straight a space equals space 6 straight q space plus space 2 comma space straight a space equals space 6 straight q space plus space 4

    Question 3
    CBSEHHIMAH10009844

    किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना ( आर्मी ) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना हैl दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभो में मार्च करना हैl उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है जिसमें वह मार्च कर सकते हैं?

    Solution

    सेना की टुकड़ी में सदस्यों की संख्या = 616
    आर्मी बैंड में सदस्यों की संख्या = 32

    32 और 616 का यूक्लिड विभाजन के साथ HCF निकलने पर

    हमें प्राप्त होता है



    अब भागफल 0 हैl
    इसलिए स्तंभों की संख्या 8 होगी

    Question 4
    CBSEHHIMAH10009845

    यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णाक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता हैl
    [ संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक हैl तब, यह 3q, 3q+ 1, या 3q + 2 के लिखा जा सकता हैl इन में से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता हैl ]

    Solution

    माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है, q भागफल है, r शेषफल है
    तब  a = bq + r जहाँ q और r भी धनात्मक पूर्णांक है और 0 ≤ r < b

    b = 3, हमें प्राप्त होता है

    a = 3q + r; जहाँ 0 ≤ r < 3

    जब, r = 0 = ⇒ a = 3q

    जब, r = 1 = ⇒ a = 3q + 1

    जब, r = 2 = ⇒ a = 3q + 2

    अब हम यह दर्शाएगें की धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3q, 3q + 1 और 3q + 2 की तरह से लिखा जा सकता है 3m or 3m + 1 किसी m पूर्णांक के लिए

    ⇒ 3q = (3q)2

    = 9q2 = 3(3q2) = 3 m जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

    3q + 1 = (3q + 1)2

    = 9q2 + 6q + 1 = 3(3q2 + 2 q) + 1

    = 3m +1, जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

    3q + 2 = (3q + 2)2

    = (3q + 2)2

    = 9q2 + 12q + 4

    = 9q2 + 12q + 3 + 1

    = 3(3q2 + 4q + 1)+ 1

    = 3m + 1 किसी m पूर्णांक के लिए

    ∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो 3m या 3m + 1 के रूप में होता हैl

    Delhi University

    NCERT Book Store

    NCERT Sample Papers

    Entrance Exams Preparation